Разберишка

Квадратичная функция: парабола, вершина и свойства

Что ребёнок должен понять в этой теме

Квадратичная функция — это функция, в которой переменная стоит во второй степени. Её график — парабола, и по формуле видно главное: куда направлены ветви, где вершина и где график пересекает оси. В 9 классе парабола становится рабочим инструментом: через неё решают квадратные неравенства, находят наибольшее и наименьшее значение и читают свойства функции без таблицы.

Что нужно держать в голове

Общий вид записи — квадрат переменной с коэффициентом, сама переменная и свободный член; коэффициент при квадрате не равен нулю.
Если коэффициент при квадрате положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — вниз.
Абсцисса вершины считается по коэффициентам: минус второй коэффициент, делённый на удвоенный первый.
Ординату вершины находят, подставляя найденную абсциссу в формулу функции.
Ось симметрии параболы проходит через вершину вертикально; ветви зеркальны относительно неё.
Нули функции — точки пересечения с горизонтальной осью; их ищут, приравнивая выражение к нулю.
По графику читают промежутки возрастания и убывания: до вершины функция идёт в одну сторону, после — в другую.

Частые ошибки девятиклассника

Делит на первый коэффициент, а не на его удвоенное значение, и получает сдвинутую вершину.
Теряет минус в формуле абсциссы вершины.
По знаку первого коэффициента судит о направлении ветвей «на глаз», а не по правилу.
Считает, что свободный член задаёт вершину, и путает его с точкой пересечения оси.
Строит параболу по двум точкам и «дорисовывает» остальное, не проверив симметрию.

Как проверить, что тема закрыта

Дайте функцию с ненулевыми коэффициентами и попросите найти координаты вершины, направление ветвей и точки пересечения с осями, а потом сверить ответ с построенным от руки графиком. Второе задание — по уже готовому графику назвать промежутки возрастания и убывания и наибольшее либо наименьшее значение.

Соответствие программе: федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика. 5–9 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Алгебра», 9 класс, раздел «Функции» (16 ч): квадратичная функция, её график и свойства, парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы, графики функций y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³, y = √x, y = |x| и их свойства.

Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.

ПособиеУчебник алгебры Макарычева, 7–9 классы

Видео по теме

Плеер подгружается только по нажатию — страница не тормозит из-за встроенного видео.

Превью видео: Квадратичная функция: парабола, вершина и свойства — 9 класс, Математика — Квадратичная функция: парабола, вершина и свойства — 9 класс, Математикавидео · 3:34 · 14.10.2026Квадратичная функция за три с половиной минуты — 9 класс, алгебра. График квадратичной функции — парабола, и по одной формуле видно три главных вещи: куда направлены ветви, где вершина и где график пересекает оси. В ролике: тема — парабола и её вершина → условие: y = x² − 6x + 5, найди координаты вершины, направление ветвей и точки пересечения с осями; вторая функция — y = −x² + 4x → что известно: коэффициент при квадрате не равен нулю и его знак задаёт направление ветвей, а абсцисса вершины считается по коэффициентам: минус второй коэффициент делить на удвоенный первый → шаг 1: в первой функции коэффициент при квадрате равен единице и он положительный, значит ветви направлены вверх → шаг 2: абсцисса вершины x₀ = −(−6) : (2 · 1) = 6 : 2 = 3 → шаг 3: подставляем тройку в формулу, 9 − 18 + 5 = −4, вершина — точка (3; −4) → шаг 4: нули функции находим, приравняв выражение к нулю, это 1 и 5, и они равноудалены от вершины: 3 − 1 = 2 и 5 − 3 = 2 → шаг 5: во второй функции при квадрате минус единица, ветви вниз, нули 0 и 4, вершина (2; 4) — это наибольшее значение → ответ: у первой параболы ветви вверх, вершина (3; −4), нули 1 и 5; у второй ветви вниз, вершина (2; 4), нули 0 и 4 → правило «почему так»: ось симметрии проходит через вершину, нули стоят на равном расстоянии от неё, поэтому абсцисса вершины — середина между нулями и её находят по коэффициентам, не решая уравнение → типичная ошибка: делить второй коэффициент на первый, а не на его удвоенное значение, терять минус в формуле и судить о ветвях по свободному члену вместо коэффициента при квадрате → как запомнить: парабола с ветвями вверх похожа на улыбку, с ветвями вниз — на грусть, а вершина — это дно или макушка, где функция принимает наименьшее или наибольшее значение → проверь себя: у функции y = x² − 4x + 3 ветви вверх, вершина (2; −1), нули 1 и 3, до вершины функция убывает, после вершины возрастает, наименьшее значение −1 → призыв: своё задание можно прислать боту, все разборы темы на сайте.

Шортсы по теме

Короткий разбор той же темы — меньше минуты и вертикально: удобно смотреть с телефона.

Превью шортса: Вершина параболы: минус b делить на 2a — Вершина параболы: минус b делить на 2aшортс · 0:50 · 17.10.2026Квадратичная функция за минуту, 9 класс. Вершину параболы находят по коэффициентам, а не по чертежу.Смотреть на странице темы

Видео размещено на нашем хостинге.

Разборы

Вершина параболы: формула и проверка

Ветви параболы, нули функции и ось ординат

Промежутки возрастания и убывания квадратичной функции

Разобрать похожее в боте

Пришлите похожее задание — бот проведёт по шагам.

Разобрать похожее в боте