Геометрическая прогрессия начинается с восьмёрки, а каждый следующий её член вдвое меньше предыдущего. Найди сумму всех её членов и подтверди ответ частичными суммами.
Что известно и что ищем
Знаменатель прогрессии — отношение любого члена к предыдущему; здесь он равен одной второй.
Если знаменатель по модулю меньше единицы, прогрессия бесконечно убывающая и её члены стремятся к нулю.
Сумма всех членов такой прогрессии — конечное число, а не бесконечность.
Ход решения
Шаг 1. Смотрим на знаменатель: он равен одной второй, а это меньше единицы. Значит, сумма всех членов существует.
Шаг 2. Считаем сумму по формуле: первый член делим на разность между единицей и знаменателем. Подставляем: 8 : (1 - 1/2) = 16. Все члены вместе дают 16.
Шаг 3. Проверяем частичными суммами, чтобы убедиться в правдоподобии. Первые четыре члена: 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
Шаг 4. Добавляем ещё половину — получаем пятнадцать с половиной. Каждый следующий член уменьшает разрыв с числом 16 вдвое, но никогда не перешагивает его.
Шаг 5. Прикидка: сумма обязана быть больше первого члена и меньше, чем первый член, умноженный на два. Шестнадцать как раз вдвое больше восьми — сходится.
Шаг 6. Смысл: члены убывают так быстро, что «хвост» прогрессии исчерпывается конечным суммарным вкладом.
Проверь себя
Формула бесконечной суммы работает только при знаменателе по модулю меньше единицы.
Сумма всегда больше первого члена — это быстрая проверка на грубую ошибку.
Частичные суммы подходят к ответу снизу, если все члены положительны.
Знаменатель — это отношение, а не разность соседних членов.
Как объяснить ребёнку
«Представь, что ешь пирог и каждый раз оставляешь вдвое меньше. Все кусочки вместе — это ровно один пирог, хотя кусочков бесконечно много».
Тема для отчёта родителю
«Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.
Видео по теме
Плеер сайта подгружается по нажатию, встроенный плеер площадки — при прокрутке до него: страница не тормозит из-за видео.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты — 10 класс, Математикавидео · 3:27 · 07.10.2026Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты, 10 класс — разбор за три с половиной минуты. Если знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше единицы, члены становятся всё меньше, а сумма всех членов сходится к конечному числу: её считают по формуле «первый член делить на разность единицы и знаменателя». Та же формула объясняет сложные проценты: каждый год вклад умножается на одно и то же число, поэтому рост идёт «проценты на проценты».
Короткий разбор той же темы — меньше минуты и вертикально: удобно смотреть с телефона.
Бесконечно убывающая прогрессия: сумма 16шортс · 0:52 · 17.10.2026Восемь, четыре, два, один — члены всё меньше, а сумма не убегает: все они вместе дают ровно 16. Знаменатель q = 1/2 меньше единицы, поэтому сумма существует и считается по формуле: первый член делить на разность единицы и знаменателя. Проверка частичными суммами: 8 + 4 + 2 + 1 = 15, добавим половину — 15,5, и так подходим к 16 снизу. Сложные проценты растут так же — умножением на одно и то же число каждый год.Смотреть на странице темы