Бесконечная периодическая дробь через геометрическую прогрессию
Условие
Запиши бесконечную периодическую дробь, у которой после запятой идут только тройки, в виде обыкновенной дроби. Воспользуйся геометрической прогрессией.
Что известно и что ищем
Бесконечную периодическую дробь можно разложить в сумму разрядных слагаемых.
Эти слагаемые образуют геометрическую прогрессию с убывающим знаменателем.
Сумма такой прогрессии — конечное число, то есть обыкновенная дробь.
Ход решения
Шаг 1. Раскладываем число по разрядам: три десятых плюс три сотых плюс три тысячных и так далее до бесконечности.
Шаг 2. Смотрим на получившийся ряд: первый член — три десятых, а знаменатель — одна десятая, потому что каждый следующий разряд в десять раз меньше предыдущего.
Шаг 3. Знаменатель меньше единицы, значит сумма всех членов существует.
Шаг 4. Считаем её: (3/10) / (9/10) = 1/3. Делить на девять десятых — то же самое, что умножить на десять девятых, и после сокращения получается одна треть.
Шаг 5. Проверяем результат обратным делением: 9 / 3 = 3, то есть в каждый период из девяти десятых приходится ровно три десятых — именно так и устроена запись с тройками в периоде.
Шаг 6. Второй способ проверки — «школьный»: чтобы перевести дробь с тройками в периоде, в числитель пишут период, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Получается три девятых, то есть одна треть. Ответы совпали.
Проверь себя
Знаменатель прогрессии — это отношение соседних разрядных слагаемых, а не разность.
Формулу бесконечной суммы применяют только при знаменателе по модулю меньше единицы.
Правило с девятками работает для чистой периодической дроби; для смешанной схемы сложнее.
Результат полезно проверять делением: обыкновенная дробь должна давать ту же запись.
Как объяснить ребёнку
«Каждая следующая цифра добавляет всё меньше. Эти добавки быстро мельчают, поэтому весь бесконечный хвост в сумме даёт простую дробь — одну треть».
Тема для отчёта родителю
«Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.
Видео по теме
Плеер сайта подгружается по нажатию, встроенный плеер площадки — при прокрутке до него: страница не тормозит из-за видео.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты — 10 класс, Математикавидео · 3:27 · 07.10.2026Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты, 10 класс — разбор за три с половиной минуты. Если знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше единицы, члены становятся всё меньше, а сумма всех членов сходится к конечному числу: её считают по формуле «первый член делить на разность единицы и знаменателя». Та же формула объясняет сложные проценты: каждый год вклад умножается на одно и то же число, поэтому рост идёт «проценты на проценты».
Короткий разбор той же темы — меньше минуты и вертикально: удобно смотреть с телефона.
Бесконечно убывающая прогрессия: сумма 16шортс · 0:52 · 17.10.2026Восемь, четыре, два, один — члены всё меньше, а сумма не убегает: все они вместе дают ровно 16. Знаменатель q = 1/2 меньше единицы, поэтому сумма существует и считается по формуле: первый член делить на разность единицы и знаменателя. Проверка частичными суммами: 8 + 4 + 2 + 1 = 15, добавим половину — 15,5, и так подходим к 16 снизу. Сложные проценты растут так же — умножением на одно и то же число каждый год.Смотреть на странице темы